Новый метод «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова для краевых задач

Условия на левом крае записываются в виде: L · Y (0) = L , где Y (0) - вектор-столбец значений функций Y ( x ) на левом крае x =0 , L - вектор-столбец «правой части» краевых условий левого края, L - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий левого края.

Аналогично записываются условия на правом крае: R · Y (1) = R , где Y (1) - вектор-столбец значений функций Y ( x ) на правом крае x =1 , R - вектор-столбец «правой части» краевых условий правого края, R - прямоугольная горизонтальная матрица коэффициентов краевых условий правого края. В книге «Теория матриц» Гантмахера можно посмотреть, что решение однородной (без правой части) системы дифференциальных уравнений можно искать при помощи матрицы Коши, которую ещё называют интегралом Коши или матрициантом . Для обозначения можно использовать букву К или выражение K ( х ¬ 0). (Там же можно посмотреть формулы для неоднородной системы дифференциальных уравнений.) Y ( x )= K ( х ¬ 0) · Y (0), где K ( х ¬ 0)= exp ( Ax ) при условии, что матрица A = constant . При условии, что матрица A не константа можно использовать свойство перемножаемости матриц Коши и записать формулу: Y ( x )= K ( х ¬ 0) · Y (0), где K ( х ¬ 0)= K (х 4 ¬ x3) · K (х3 ¬ x2) · K (х2 ¬ x 1) · K (х1 ¬ 0), где K( х j ¬ xi)=exp(A(xi)x), то есть интервал интегрирования разбивается на участки и на участках матрицы Коши приближённо вычисляются по формуле для постоянной матрицы в экспоненте. 2. Новый метод Алексея Юрьевича Виноградова – метод «дополнительных краевых условий». Запишем на левом крае ещё одно уравнение краевых условий: M · Y ( 0) = M . В качестве строк матрицы M можно взять те краевые условия, то есть выражения тех физических параметров, которые не входят в параметры краевых условий левого края L или линейно независимы с ними. Это вполне возможно, так как у краевых задач столько независимых физических параметров какова размерность задачи, а в параметры краевых условий входит только половина физических параметров задачи. То есть, например, если рассматривается задача об оболочке ракеты, то на левом крае могут быть заданы 4 перемещения. Тогда для матрицы M можно взять параметры сил и моментов, которых тоже 4, так как полная размерность такой задачи – 8. Вектор M правой части неизвестен и его надо найти и тогда можно считать, что задача решена, то есть задача сведена к задаче Коши, то есть найден вектор Y (0) из выражения: | L | | L | |----| · Y (0) = |----| | M | | M |, то есть вектор Y (0) находиться из решения системы линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей коэффициентов, состоящей из блоков L и M . Аналогично запишем на правом крае ещё одно уравнение краевых условий: N · Y (1) = N , где матрица N записывается из тех же соображений дополнительных линейно-независимых параметров на правом крае, а вектор N неизвестен. Для правого края тоже справедлива соответствующая система уравнений: | R | | R | |----| · Y (1) = |----| | N | | N |, Запишем Y (1)= K (1 ¬ 0) · Y (0) и подставим в последнюю систему линейных алгебраических уравнений: | R | | R | |----| · K (1 ¬ 0) · Y (0) = |----| | N | | N |. Запишем вектор Y (0) через обратную матрицу | L |-1 | L | Y (0) = |----| · |----| | M | | M | и подставим в предыдущую формулу: | R | | L |-1 | L | | R | |----| · K (1 ¬ 0) · |----| · |----| = |----| | N | | M | | M | | N |. Таким образом мы получили систему уравнений вида | L | | R | B · |----| = |----| | M | | N |, где матрица B известна, а векторы M и N неизвестны.

Разобьём матрицу B на естественные для нашего случая 4 блока B 11, B 12, B 21 и B 22 и получим: | B 11 | B 12 | | L | | R | |------------------| · |----| = |----| | B 21 | B 22 | | M | | N |, откуда можем записать, что B11 · L + B12 · M = R, B21 · L + B22 · M = N. Следовательно, искомый вектор M вычисляется по формуле M = ( B 12)обратная · ( R - B 11 · L ). А искомый вектор N вычисляется по формуле N = B 21 · L + B 22 · M . 3. Про «жесткие» краевые задачи. При моделировании пространственных систем при помощи дифференциальных уравнений они иногда оказываются «жёсткими». Это, например, задачи типа расчёта на прочность тонкостенных оболочек в ракето и самолёто-строении , в кораблестроении, в трубопроводах, баках, прочие задачи для тонких и изогнутых конструкций из металла, пластика или композиционного материала. Для решения таких краевых задач с «жёсткими» дифференциальными уравнениями обычно применяют специальные приёмы-методы. «Жёсткие» краевые задачи можно решать методом Алексея Юрьевича Виноградова. Этому методу не свойственны никакие проблемы, какие есть у метода Годунова.

Познакомиться с «методом переноса краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова можно на страничке www . AlexeiVinogradov . narod . ru . С тем как решаются проблемы метода С.К.Годунова можно посмотреть на страничке www . VinogradovAlexei . narod . ru . 4. Применение метода «дополнительных краевых условий» Алексея Юрьевича Виноградова для «жестких» краевых задач. Вы можете сами придумать, как применить ортонормирование к изложенному методу. Могу предложить идею построчного ортонормирования по аналогии с моим методом, изложенным на страничке www . AlexeiVinogradov . narod . ru . Эта идея построчного ортонормирования выливается в данном случае в одностороннюю прогонку.

Запишем | R | | L |-1 | L | | R | |----| · K (1 ¬ 0) · |----| · |----| = |----| | N | | M | | M | | N | в виде | R | | L |-1 | L | | R | |----| · K (1 ¬ x2) · K (х 2 ¬ x 1) · K (х1 ¬ 0) · |----| · |----| = |----| | N | | M | | M | | N | или в виде | R | | R | |----| · K (1 ¬ x2) · вектор = |----| | N | | N | или D · вектор = D - это система линейных алгебраических уравнений с квадратной невырожденной матрицей D коэффициентов и вектором правой части D может быть подвержена построчному ортонормированию , которое не затронет вектор . После построчного ортонормирования получим D орто · вектор = D орто , где неизвестную часть N вектора D ортонормированию подвергать не нужно (так как численно невозможно, а возможно только формульно из-за первоначальной неизвестности значения этого вектора). Далее запишем D орто · K (х2 ¬ x 1) · другой_вектор = D орто или другая_матрица _ D · другой_вектор = D орто . Эту систему линейных алгебраических уравнений также подвергаем построчному ортонормированию и получаем: другая_матрица _ D орто · другой_вектор = D 2орто. И так далее переносимся ортонормированием до конца пока не подвергнем ортонормированию все матрицы Коши K ( х j ¬ xi ). В результате прогонки получаем | L | | R орто | ортонормированная_матрица · |----| = |------------------------| | M | | N _неизвестный | Где искомый вектор M вычисляется по формуле M = ( B 12орто)обратная · ( R орто - B 11орто · L ). 5. Про диссертации. На основании исследований метода С.К.Годунова сделано множество кандидатских и докторских диссертаций.