История открытия комплексных чисел

Сначала для счёта предметов использовались натуральные числа. Затем необходимость выполнения деления привела к понятию дробных положительных чисел; далее, необходимость выполнения вычитания – к понятиям нуля и отрицательных чисел; наконец, необходимость извлечения корней из положительных чисел – к понятию иррациональных чисел. Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел.

Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа.

Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятий числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой : каждому числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа). Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е. «на ней нет места для новых чисел». Возникло предположение о том, что геометрические образы новых чисел нужно искать не на прямой, а на плоскости.

Комплексным числом называется всякая упорядоченная пара действительных чисел a и b . Два комплексных числа (a;b) и ( c ; d ) называются равными тогда и только тогда, когда a = c и b = d . Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись a + bi называется алгебраической формой комплексного числа z =( a ; b ); при этом число a называется действительной частью комплексного числа z , а bi – его мнимая часть.

Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i * i равно -1, т. е. . Если мнимая часть комплексного числа a + bi отлична от нуля, то такое число называется мнимым; если при этом a =0 , т. е. число имеет вид bi , то оно называется чисто мнимым; если у комплексного числа a + bi мнимая часть равна нулю, то получается действительное число a . 2. Из истории.

Итальянский алгебраист Дж.

Кардано в 1545 г . предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д.

Образующих единое целое. В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.