Исследование прочности на разрыв полосок ситца

Скачать работу - Исследование прочности на разрыв полосок ситца

Математическая статистика – наука которая занимается разработкой методов отбора, группировки и обработки опытных данных с целью изучения закономерностей массовых случайных явлений.

Математическая статистика опирается на методы и понятия теории вероятностей и, в свою очередь, служит основой для обработки анализа статистических результатов в конкретных областях человеческой деятельности.

Задачи математической статистики: 1) нахождение функции распределения по опытным данным. 2) из теоретических соображений функция распределения оказывается в общем виде известна, но неизвестны её параметры.

Неизвестные параметры определяются по опытным данным. 3) Статистическая проверка гипотез: в общем виде известна функция распределения, определяют её неизвестные параметры и выясняют, как согласуются экспериментальные данные с общим видом функции распределения. 2. Цель курсовой работы. Целью курсовой работы является закрепление теоретических знаний и приобретения навыков обработки статистической информации. 3.Постановка задачи В данной курсовой работе были поставлены следующие задачи для обработки статистических данных: 1) построение полигона частот и относительных частот 2) построение гистограммы частот и относительных частот 3) построение эмпирической функции распределения. 4) нахождение выборочной средней, выборочной дисперсии и нахождение среднего выборочного квадратичного отклонения. 5) проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой случайной величины. 4. Исходные данные Вариант 14 Прочность на разрыв полосок ситца (в дан.): 32 31 34 32 31 29 32 34 33 31 31 34 32 31 35 32 34 33 31 30 30 32 32 34 31 31 35 32 34 33 32 31 34 32 31 29 32 34 33 31 31 34 32 31 35 32 34 33 31 30 34 32 31 29 32 34 33 31 30 32 32 31 36 32 34 33 31 30 32 33 31 28 32 34 33 31 30 32 33 30 35 32 34 33 32 30 31 33 30 33 32 34 33 31 30 32 33 30 31 32 34 33 31 30 32 33 30 31 32 33 33 31 30 32 33 30 31 32 33 30 34 33 31 30 32 33 30 31 32 33 5. Распределение случайной величины на основе опытных данных Для обработки опытных данных воспользуемся составлением статистического ряда. В первой строке записываются номера наблюдений, а во второй строке результаты наблюдений. Если результаты наблюдений расположить в возрастающем порядке, то получим вариационный ряд.

Результат измерения называетсяварианта. Число появления каждой варианты называется частотой.

Отношение частоты к объему выборки называется относительной частотой. x i - варианта (значение, полученное в процессе измерения) n i - частота (сколько раз появилась каждая варианта) Р * i – отношение частоты объёму выборки

x i	28	29	30	31	32	33	34	35	36
n i	1	3	18	29	32	24	18	4	1
ni Pi * n	1 130	3 130	18 130	29 130	32 130	24 130	18 130	4 130	1 130

Существует вместо статистического ряда так называемая статистическая совокупность, для этого все наблюдаемые значения признака разбиваются на группы равной длины.

x i x x i+1	(27 ;29]	(29;31]	(31;33]	(33;35]	(35;37]
n i	4	47	56	22	1
P i *	4/130	47/130	56/130	22/130	1/130

Размах колебания: х min =28 х max =36 R = 36-28=8 Статистическое распределение можно изобразить графически: Либо в виде полигона частот, полигона относительных частот и в виде гистограммы частот, гистограммы относительных частот.

Полигоном частот называется ломаная линия, соединяющая точки с аб c ци c сой (О х ) - варианта и ординатой (О у ) – частота. C троим полигон частот. Полигоном относительных частот называется ломаная линия, соединяющая точки с абсциссой (О х ) – варианта и ординатой (О у ) – относительная частота.

Строим полигон относительных частот. Полигон относительных частот Гистограммой частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала) и площадью численно равной частоте. Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

x i i+1	(27 ;29]	(29;31]	(31;33]	(33;35]	(35;37]
n i	4	47	56	22	1
h i = n i x	4/2	47/2	56/2	22/2	1/2

							x=2
hi
56 2
47 2
22 2
4/ 2
1/ 2
	27	29	31	33	35	37
								xi

Гистограммой относительных частот называется фигура, состоящая из прямоугольников с равными основаниями (длина интервала)и площадью численно равной относительной частоте. Для построения гистограммы воспользуемся таблицей:

x i i+1	(27 ;29]	(29;31]	(31;33]	(33;35]	(35;37]
Р * i	4 /130	47 /130	56 /130	22 /130	1 /130
h i = P * i x	4/260	47/260	56/260	22/260	1/260

x=2

h*i
56 260
47 260
22 260
4 260
1 260
0	27	29	31	33	35	37
								xi

6. Построение эмпирической функции распределения Статистическая функция распределения (эмпирическая) – это частота события, состоящего в том, что случайная величина Х в процессе изменения примет значение меньше некоторого фиксированного х

F * (х) = Р * = P * (X

9 P i * = 1 i=1

1) F * ( x )= P * ( X 2) 28 x 29 F * ( x )= P * ( X P * ( X =28)=1/130 3) 29 x 30 F * ( x )= P * ( X =28)+ P * ( X =29)=1/130+3/130=4/130 4) 30 x 31 F * ( x )= P * ( X P * ( X =28)+ P * ( X =29) P * ( X =30)+1/130+3/130+18/130=22/130 5) 31 F * (x)=P * (X * (X=28)+ +P * (X=29)+P * (X=30)+P * (X=31)=1/130+3/130+18/130+29/130=51/130 6) 32 F * (x)=P * (X * (X=28)+P * (X=29)+P * (X=30)+P * (X=31) P * (X=32)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130 7) 33 F * (x)=P * (X * (X=28)+P * (X=29)+P * (X=30)+P * (X=31)+ +P * (X=32)+P * (X=33)=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130 8)34 F * (x)=P * (X * (X=28)+P * (X=29)+P * (X=30)+P * (X=31)+ +P * (X=32)+P * (X=33) P * (X=34)= =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130 9) 35 F * (x)=P * (X * (X=28)+P * (X=29)+P * (X=30)+P * (X=31)+ +P * (X=32)+P * (X=33) P * (X=34)+ P * (X=35) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130 10) x>36 F * (x)=1 0, - 1/130, - 4/130, 29 22/130, 30 F * ( x ) 51/130, 31 83/130, 32 107/130, 33 125/130, 34 129/130, 35 1, х>36 Статистическая функция распределения является разрывной функцией и её графиком является ступенчатая линия.

Построим систему координат: на оси Ох=х i на оси Оу= F * ( x )

F* 1 129/130 125/130 107/130 83/130 51/130 22/130 4/130 1/130 0 xi 28 29 30 31 32 33 34 35 36

7.Статистические оценки параметров распределения Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.

Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям: 1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра; 2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра; 3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра; Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий. Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка оцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной. Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N количественного признака Х. Генеральной средней совокупностью называют среднее арифметическое наблюдаемых значений.

	_ х 1 +х 2 +….+ х N х г = = N N = x i i=1 N

Если же значение признака х 1 ,х 2 ,…….х к имеют соответственно частоты N 1 , N 2 …….. N k , то средняя генеральная вычисляется по формуле:

_ х 1 N 1 +x 2 N 2 +…...x k N k х г = = N k = x i N i i=1 N

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n .

х 1 +х 2 +….х n х в = = n n = x i i =1 n

Выборочной средней называют среднее арифметическое наблюдаемых значений в данной выборке. Если же значение признака х 1 ,х 2 ,….х k имеет соответственно частоты n 1 , n 2 ,…. n k , то выборочная средняя определяется по формуле:

	_ х 1 n 1 + x 2 n 2 +…+ x k n k х в =______________________ = n k = x i n i i =1 n

x i	28	29	30	32	32	33	34	35	36
n i	1	3	18	29	32	24	18	4	1

_ 28 1+29 3+30 18+31 29+32 32+33 24+34 18+35 4+36 1 в = = 130 = 4158 = 31,98 130 Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней.

Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:

_ _ _ _ (х 1 -х в ) 2 + (х 2 -х в ) 2 + ….(х n -х в ) 2 D в = n = n _ = ( х i -x в ) 2 i =1 n

Если же значение признака х 1 ,х 2….. x k имеет соответственно частоты n 1 , n 2…. n k , то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

_ _ _ _ (х 1 -х в ) 2 n 1 + (х 2 -х в ) 2 n 2 + ….(х k -х в ) 2 n k = D в = n k _ = ( х i - x в ) 2 n i i =1 n

_ (28-31,98) 2 1+(29-31,98) 2 3+(30-31,98) 2 18+(31-31,98) 2 29+ D в = +(32-31,98) 2 32+(33-31,98) 2 24+(34-31,98) 2 18+(35-31,98) 2 4+(36-31,98) 2 1 = 130 = 291,972 = 2,24 130 Среднее выборочное квадратичное отклонение - это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии.

_ __ в = D в

__ в = 2,24 = 1,5 Нормальный закон распределения случайной величины Говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:

1 -(x-a) 2 F(x) = 2¶ e 2 2

SHAPE * MERGEFORMAT 8.Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой величины Гипотезу Н 0 выдвигаем в качестве основной – пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону.

Параллельно гипотезе Н 0 выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой критерием согласия. Для исследования воспользуемся критерием 2 Пирсона.

Вычисляем 2 для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами: SHAPE * MERGEFORMAT

x i -x в Z i = _ в

x i +1 -x в Z i +1 = _ в

_ х в =31,98 _ D в =2,24 _ в =1,5

N интервал I	xi	ni	xi	xi^2	xi-xв	xi+1-xв	Zi	Zi+1	Ф(Zi)	Ф(Zi+1)	Pi=Ф(Zi+1)-Ф(Zi)	ni*=n *Pi	ni-ni*	(ni-ni*)^2	(ni-ni*)^2/ni*
1	27	4	28	784	-4,98	-2,98	-3,32	-1,987	-0,4991	-0,4699	0,03	3,7999	0,2001	0,04004	0,01053712
2	29	47	30	900	-2,98	-0,98	-1,987	-0,653	-0,4699	-0,2357	0,23	30,446	16,554	274,03492	9,00068699
3	31	56	32	1024	-0,98	1,02	-0,653	0,68	-0,2357	0,2357	0,47	61,282	-5,282	27,899524	0,45526458
4	33	22	34	1156	1,02	3,02	0,68	2,0133	0,2357	0,4699	0,23	30,446	-8,446	71,334916	2,34299796
5	35	1	36	1296	3,02	5,02	2,0133	3,3467	0,4699	0,49913	0,03	3,7999	-2,7999	7,83944	2,06306482
		130													13,8725515

k ( n i - n i * ) 2 2 набл. = i=1 n i 2 набл =13,8725515 Далее находим 2 с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости =0,05 и числу степеней свободы. К= S-3 5-3=2 2 крит. =6,0 2 набл =13,8725515 > 2 крит =6,0 Гипотеза не принимается. 9. Вывод В данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты. Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач.

оценка стоимости векселя в Курске
оценка аренды земельного участка в Твери
оценка объектов жилой недвижимости в Москве